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La paradoja de las elecciones

Qué difícil es conocer la voluntad general
Felipe Muñoz
martes, 22 de noviembre de 2011, 08:32 h (CET)

Cuando hablamos, en general, de “elecciones”, de las elecciones que realizamos individualmente en la vida, y en todo momento, tendemos a representarnos a nosotros mismos, en un punto del espacio o del tiempo, ante dos alternativas.  A o B, rojo a azul, respetar la dieta o comer en tres horas, PSOE o PP.

La elección de alternativas

Sin embargo, así expuesto, cualquiera se da cuenta de que esto es una simplificación: en pocas ocasiones las alternativas son sólo dos, aunque a nosotros se nos aparezca así. No se trata de hacer algo o no hacerlo, de ir a votar o no, de votar al PSOE o no votarlo, sino de realizar la acción A, la B, la C, y así, hasta el número de alternativas que nos podamos imaginar.

Podemos, pues, ir, o no, a votar, votar a cualquiera de los muchos partidos presentados a las elecciones generales, llevar una papelera para que los votantes arrojen su voto en ella o, también, quedarse en casa criticando a todos los partidos o escribiendo una columna de opinión.

El problema de las decisiones tomadas por votación

El problema de la elección, más allá de las alternativas de las que disponemos individualmente,  se complica sobremanera si consideramos que estamos tomando una decisión colectiva. Y tal decisión, al ser colectiva, tiene que ser tomada por votación.

Por supuesto, en el caso de que en realidad, solo hubiera dos alternativas, no hay cuestión en lo que respecta al mecanismo de toma de decisiones: la alternativa con más votos es la que se ejecuta. Pero, si hay más de dos opciones sobre las que elegir, nos encontramos, en primer lugar, con la dificultad de establecer un sistema de votación que refleje, de verdad, la voluntad, si no general al menos mayoritaria, de una sociedad determinada

En 1785, el marqués de Condorcet, en su obra “Ensayo sobre el análisis de probabilidad de las decisiones sometidas a la pluralidad de voces”, se planteó el problema de encontrar el tamaño óptimo de los jurados en las instituciones judiciales francesas. Y se encontró con lo que se conoce, en su honor, como “la paradoja de Condorcet”. Se trata de la dificultad de transferir las preferencias individuales a las decisiones colectivas, una vez que se plantean más de dos opciones.

Las preferencias colectivas pueden no ser coherentes

Condorcet concreta el problema en la posibilidad de que las “preferencias colectivas” no sean transitivas. Es decir, que si una mayoría prefiere A a B y una mayoría prefiere B a C, esto no quiere decir que una mayoría prefiera A a C. De hecho, existen situaciones perfectamente identificables en las que ocurre lo contrario.

Para ilustrarlo, consideremos una decisión con tres alternativas, que ha de ser tomada en un colectivo de 100 votantes. Partiendo de que cada votante es un “preferidor racional”, todos ellos ordenarán las alternativas (A, B, C) según su preferencia.

Consideremos, pues, todas las ordenaciones posibles y la “cantidad de votos” obtenida por cada una de dichas ordenaciones:

A,B,C  0 votos
A,C,B  43 votos
B,A,C  10 votos
B,C,A  32 votos
C,A,B  6 votos
C,B,A  9 votos

Dado este contexto de preferencias, si la elección se produce en una única votación, por papeleta o a mano alzada, el resultado será el siguiente:

A-. 43 votos
B-. 42 votos
C-. 15 votos

Sin embargo, si observamos bien, hay 51 votos que prefieren la opción B a la opción A. Si observamos aún mejor, vemos que hay 58 votos que prefieren la opción C a la B. Y, si seguimos observando hasta le final, vemos que hay 53 votos que prefieren la opción A a la C.

Condorcet calculó la probabilidad de que se produjera este tipo de situación, cuando hay que decidir entre varias alternativas y obtuvo que, conforme aumenta la cantidad de votantes, esta probabilidad tiende al 8,8%. Sin embargo, con el aumento de la cantidad de alternativas posibles, la probabilidad de que se produzca la paradoja de la votación se acerca progresivamente al 100%.

Cuando el sistema de votación decide el ganador

Si vamos un poco más allá, podemos ver cómo el mecanismo de votación puede decidir, ya por sí mismo, la alternativa ganadora.

Consideremos una asamblea de 110 votantes, que ha de decidir entre cinco opciones. La ordenación de sus preferencias individuales es la siguiente:

ADECB -. 36 votos
BEDCA-. 24 votos
CBEDA-. 18 votos
DCEBA-. 20 votos
EBDCA-. 8 votos
ECDBA-. 4 votos

Si aplicamos cinco métodos diferentes de votación, vemos lo que ocurre:

1. Votación única, como en unas elecciones generales. En este caso vencería A.

2. Votación a doble vuelta, como en unas elecciones presidenciales, en la que las dos primeras alternativas pasan a esa segunda vuelta. En este caso, vencería B.

3. Votación sucesiva eliminando el último, como se hace en los comités olímpicos. En este caso, vencería la opción C.

4. Votación ponderada, es decir, asignando puntos, en vez de votos, como se hace en las competiciones deportivas y en los festivales. En este caso, vencería la opción D

5. Votación por enfrentamiento directo, dos a dos, de todas las alternativas, entre sí. En este caso, vencería E.

Vemos así cómo la posibilidad de que la voluntad popular se refleje en las votaciones formalmente democráticas mediante papeletas o a mano alzada, resulta, cuanto menos, dudosa.

Teoría de la Elección Social

En este sentido, el Premio Nobel de Economía, Kenneth Arrow, ya en el siglo XX, se interesó, desde el inicio de su carrera, por la posibilidad de fijar reglas de decisión, políticas o sociales, con el fin de que la voluntad de un gran grupo social o político pueda hacer evolucionar su sociedad o nación hacia un estado determinado.

Arrow camina de obviedad en obviedad para llevarnos a un sorprendente resultado. Parte de que, en un entorno social o político determinado, hay una infinidad de estados (económicos, políticos, morales) posibles, en principio, o, al menos, concebibles.

Si queremos respetar la voluntad soberana de ese grupo, los gobernantes someterán a votación hacia cuál de esos estados hay que tender y, al menos, se podrá elegir entre varias alternativas de estados propuestas.

Las reglas de la decisión colectiva

Hasta aquí, muy razonable. A partir de aquí, aún más. Para trasladar las preferencias individuales a las decisiones colectivas, Arrow afirma que se deben cumplir las siguientes reglas:

1. Transitividad. Si A es preferido a B y B es preferido a C, entonces A tiene que ser preferido a C.

2. Unanimidad. Si el colectivo prefiere A a B, entonces, la mayoría de los individuos del colectivo prefieren A a B.

3. Independencia de las alternativas irrelevantes. El añadido o retirada de alternativas, no varía el orden de preferencia de las alternativas primeras.

4. Universalidad. Ha de ser posible votar a cualquiera de las alternativas.

5. No imposición. No ha de haber ningún resultado contradictorio con la naturaleza del sistema de votación.

6. Ausencia de dictadura. Ningún votante individual puede tener en sus manos la decisión final. Arrow define, para estos fines, al dictador como aquel individuo que determina las preferencias de una sociedad, es decir, hacia qué estado económico, social o político se dirige dicha sociedad.

La imposibilidad de la decisión

Pues bien, ya en su tesis doctoral Elección social y valores individuales, publicada en 1951, Arrow enunció su conocido Teorema de Imposibilidad, que viene a enunciarse del siguiente modo: “Cualquier regla de votación que respeta la transitividad, la independencia de alternativas irrelevantes y la unanimidad es una dictadura, siempre que la decisión se plantee, al menos, entre tres alternativas”.

Se trata de un teorema matemático, acompañado de su correspondiente demostración. Se basa en la paradoja de Condorcet y arroja serias dudas sobre la posibilidad de que un pueblo pueda llevar las riendas de su destino político mediante votaciones formalmente democráticas, por medio de papeletas y urnas.

La búsqueda de los sistemas de decisión democráticos

Por supuesto, el teorema no podía quedar así, y su crítica ocupó a la ciencia de la Economía posterior a la publicación de Arrow. Al tratarse de un teorema matemático, basado en axiomas, la crítica del mismo solo se podía abordar negando alguno de esos axiomas y, a partir de esa negación, buscando sistemas de votación alternativos.

Porque el problema no reside en la democracia indirecta (con una votación directa, nada cambia en cuanto al teorema), ni en la ley D’Hont, ni en las circunscripciones electorales. El problema está en que un votante emite un solo voto y, por tanto, sólo pondera su alternativa preferida, dejando en la oscuridad el resto de su orden de preferencias.

La votación por puntos y la paradoja de Condorcet

Para evitar este problema, en el marco de la Academia de Ciencias francesa, a finales del siglo XVIII, Jean Charles Borda instauró un sistema de votación por puntos (el que se utiliza actualmente en Eurovisión). Se trataba de asignar una ponderación al orden de preferencias del votante, de modo que la alternativa preferida se puntuaba con un 1, la segunda con un 2, y así sucesivamente.

De este modo se obtendría, en una sola votación, lo que se ha dado en llamar el “ganador Condorcet”, es decir, la opción ganadora en un enfrentamiento, una contra una, entre todas las alternativas sometidas a votación.

Presuposición de los votantes

En principio, parecía que este mecanismo de votación evitaba lo que Arrow denominaba como el “dictador”. Pero Napoleón, en su Código Civil, prohibió el sistema y nunca más se recuperó.

En cualquier caso, queda en pie la dificultad de extraer ciertas conclusiones de unas elecciones generales. Conclusiones del tipo “el pueblo ha dado una mandato a Rajoy” y otras por el estilo. Lo cierto es que, de un censo de treinta y seis millones, un partido se ha llevado la mayoría absoluta con menos de once millones. Y el problema no se reduce a la ley electoral, que tantos critican y tan pocos conocen. Acaso, se trata de que la democracia es algo más que la votación.

Finalmente, ya en nuestra década, el matemático Donald Saari, ha realizado una demoledora crítica del Teorema de Imposibilidad: “Arrow presupone que los votantes son racionales”. Y, aunque los votantes españoles han dado, por un momento, la sensación de serlo, no hay que dejarse engañar por las apariencias.

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